美国高中数学挑战来了！(引子式)
这是一个关于复数k的连乘。
首先，分析一下k。k是一个复数，是方程x^8-1=0的单位根。表达式中，k的幂次：k,k^2,k^3,...,k^7均位于单位圆上，间隔45°均匀分布：
马上可以知道，当m+n=8时，k^m与k^n关于实轴x轴对称，互为共轭。也就是：
这是一个重大发现！想想高斯小朋友计算1+2+3+...+100=？的清奇思路，首尾相加等于常数101，这里首尾相乘会出现常数1，心潮澎湃的你马上就知道解题的第一步应该怎么搞了：
令
中括号里面复数虚部抵消，这样每一项都是实数，然而，问题似乎并没有变简单，还是七个式子连乘，怎么破？
这条路看起来时走不通了。换个思路。
分析一下表达式。表达式看起来像什么？什么式子中会出现连乘的表达呢？因式分解！！！如果能找到被因式分解的原表达式，而这个表达式计算起来又非常简单，那这个问题也就解决了。
不妨一试。
注意到k是x^8-1=0的根，这是一个8次方程，在复数域上应该有8个根。显然
所以k,k^2,k^3,...,k^7都是方程x^8-1=0的根。别忘了还有一个x=1(有人问，x=-1显然也是根啊，怎么没有？怎么没有，在这儿：k^4=-1)
回忆一元二次方程基于根的因式分解，类似地，有下面的恒等式：
左边，一个极其简单的表达式，右边，一个非常复杂的连乘形式。（插个题外话，上面的因式分解很有内涵，Kummer据此创建了理想数理论，直接证明了费马大定理x^n+y^n=z^n无正整数解,对一大批n都成立)。
和原题比较一下，胜利在望~
令x=-3，得
右边，提取8个（-1）以去掉负号，立得
柳暗花明又一村。
老美的数学竞赛还是蛮简单的，加上原题其实是选择题，选项本身就是一种提示，能让你从第一个思路的死胡同里飞出来。难怪听朋友说，他参加州竞赛，拿前三的基本都是亚裔黄种人。
用户评论
这确实挺吓人的！我现在在美国读高招，感觉我们的数学课越来越偏向于理论了，实用性很低。希望能有更多实际应用型的课程能帮助我们应对这些挑战。
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美国高中数学一直都很有名啊！其实我觉得不是特别难，只要认真学习基础知识就能挺住。 我现在正在准备参加这个挑战赛，希望自己能取得好成绩！
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感觉文章没把重点讲清楚嘛，说“挑战”了，我们都不知道有哪些具体的难题，实际操作起来更像是在忽悠人吧？应该多描述一下考试内容和难度等级。
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我高中时就对数学很有兴趣，参加各种竞赛也积累了一些经验。我觉得这些挑战其实很好练就逻辑思维能力和解题技巧，也是帮助我们将来学习更高深的数学基础的很好的机会。
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我现在在美国读高二，最近学校就开始跟我们谈论这一项挑战赛了。说真的，我有点压力啊！ 感觉自己要努力加倍钻研才能赶上大家的脚步。希望自己到时候能在考试中表现出色！
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文章说的很有道理啊！近年来，数学教育的趋势确实在朝着应用和创新的方向发展，这次挑战赛也印证了这个趋势。学生们需要具备解决实际问题的能力，而不是只是死记硬背公式。
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其实我觉得这种“挑战”有些夸张的宣传了，不就是一些偏向高级数学的题吗？我们高中生又不是要去报考顶级专业啊！学校应该关注学生的全面发展而不是过度强调竞争性考试
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完全赞成! 美国高中数学的难度确实在变高呢，希望能有更多高质量的辅导资源和鼓励措施帮助学生们更好地应对挑战。 考试只是一种评估工具，更重要的是培养学生的兴趣和学习能力！ <br /
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我以前就是个数学爱好者，喜欢解各种难题。参加这种挑战赛对我来说很有吸引力，有机会和全国顶尖的学生一较高低，也是一个很好的锻炼机会。
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美国的教育体制确实让人琢磨不透，总是强调挑战和竞争，而忽略学生的实际需求和心理健康。我希望学生们能不被这些压力所困扰，找到适合自己的学习方式，享受学习的乐趣！
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感觉这篇文章写的有些片面啊，没有提到美国高中数学的教学体系是什么样的，教材如何选择等等。 真正想了解这个挑战的本质，还需要多方了解才能得出结论!
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我的孩子现在正在读美国高中，我很关注他的学习情况，尤其是数学方面。希望他能积极面对这次挑战，不断提升自己的能力和水平！
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对于那些对数学充满热情的学生来说，这个挑战确实是一个锻炼的宝贵机会。他们可以在其中结识志同道合的朋友，一起探讨数学知识，互相帮助，共同成长!
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不过我觉得美国的教学方式好像不太适合所有人。 很多同学根本就不是特别热爱数学，被强加在这种“挑战”之下反而会造成很大的学习压力和心理负担 。还是应该尊重每个学生个性的发展特点和兴趣所在!
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感觉这个挑战赛有点像美国学校里流行的风潮，很注重竞争，缺乏合作精神。我希望学生们能更重视团队合作，互相帮助，而不是仅仅为了争夺荣誉而进行学习。
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用户评论
这道题真的太有趣了！虽然我好久没碰数学了，但还是被它吸引住了，忍不住思考了半天。 看来美国的高中数学教育真的比我们想象中更注重培养学生的思维能力。
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这道题太难了！我完全不知道该从哪里下手。 可能是我太久没学数学了，脑子生锈了。 不过，这道题确实让我感受到了美国高中数学竞赛的难度。
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看到这道题，我瞬间回到了高中时代。 那时候的我，也经常在数学竞赛中绞尽脑汁。 虽然这道题看起来很简单，但其实蕴藏着不少数学技巧。
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美国高中数学竞赛题，果然名不虚传！ 这道题看似简单，但要想完全解开，需要运用多种数学知识。 看来美国学生的数学能力确实比我们想象中要强很多。
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这道题简直是神题！ 我看了半天都没看懂，更别说解出来了。 看来我的数学水平还需继续提升。
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这道题很有意思！虽然我无法解答，但它让我对美国高中数学竞赛充满了好奇。 希望有机会可以了解更多关于美国高中数学教育的信息。
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这道题太烧脑了！我花了半个小时才勉强理解题意，更别说解题了。 感觉我的数学水平真是太差了。
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看到这道题，我突然想起当年参加数学竞赛的经历。 虽然最终没有取得好成绩，但那段时光却让我受益匪浅。 这道题也让我再次感受到了数学的魅力。
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这道题有点难度，不过我喜欢！ 它让我思考，让我挑战，让我对数学的兴趣更浓厚了。
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这道题让我看到了数学的另一种可能性。 它不仅仅是简单的计算和公式，更是一种思维方式，一种解决问题的方法。
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这道题真的太有意思了！我虽然不会解，但也觉得很有趣。 它让我看到了数学的趣味性，也让我对数学产生了新的兴趣。
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这道题太难了！我完全不知道该从哪里下手。 感觉我的数学水平还需继续提升。 希望以后有机会能学到更多数学知识。
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这道题很有启发性！它让我意识到，数学不仅仅是书本上的知识，更是一种解决问题的能力。
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这道题太烧脑了！我看了半天也没看懂，更别说解出来了。 看来我的数学水平还需继续提升。
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这道题让我对美国高中数学竞赛充满了好奇。 希望有机会可以了解更多关于美国高中数学教育的信息。
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这道题很有意思！虽然我无法解答，但它让我对数学的兴趣更浓厚了。
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这道题让我感受到了数学的魅力。 它不仅仅是简单的计算和公式，更是一种思维方式，一种解决问题的方法。
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这道题让我对数学产生了新的兴趣。 它让我看到了数学的趣味性，也让我意识到数学不仅仅是书本上的知识，更是一种解决问题的能力。
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这道题太难了！我完全不知道该从哪里下手。 感觉我的数学水平还需继续提升。 希望以后有机会能学到更多数学知识。
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