1、卡方分布

卡方分布是指符合标准正态分布的样本总体。每个样本的平方和形成的新随机变量称为卡方分布，记为22(n)。

(1) 卡方分布概率密度函数：

(2) 卡方分布的期望和方差：E(X)=n, D(X)=2n

(3) 概率分布质量函数：

### 卡方分布def chi_ditribution(): x=np.linspace(0, 10, 100) Fig,ax=plt.subplots(1,1) linestyles=[':', '--', '- 。 ', '-'] deg_of_freedom=[1, 4, 7, 6] for df, ls in zip(deg_of_freedom, linestyles): ax.plot(x, stats.chi2.pdf(x, df), linestyle=ls) plt.title('Chi-square distribution') plt.grid(True) plt.legend()chi_ditribution() 对应于卡方检验。卡方x2 检验可用于拟合检验和相关分布。其核心原理是根据样本数据估计总体频率与期望频率是否存在极限差异。

（4）显着性分析应用实例：一家咖啡店通过统计得到了如下一组数据。老板想看看不同职业和咖啡口味之间是否存在限制性差异。

咖啡统计

def cal_chi2(df): '''卡方检验''' kt=chi2_contingency(df) print('卡方值=%.4f, p值=%.4f, 自由度=%i预期_frep=%s'% kt) return ktdf.plot(kind='bar')cal_chi2(df) 卡方值=138.2050，p值=0.0000，可见不同职业和咖啡口味并不是独立的，有是显着差异。当然，从上面的直方图中我们也可以清楚地看出，不同的职业对于咖啡的口味有着不同的偏好。

再比如，男性和女性对化妆品的统计数据如下。那么：性别和是否化妆之间是否存在显着差异？这也可以使用卡方检验来解释。

2.t-分布：

t 分布也称为学生分布，通常用于基于小样本估计方差未知的正态分布总体的均值。

(1) t分布概率质量函数：

(2) t分布概率图：

def t_distribution(): ''' t-分布''' x=np.linspace(-5,5,100000) for i in range(1, 4,1): y_t=stats.t.pdf(x, i ) plt.plot(x,y_t, label=f'i={i}') plt.legend() plt.grid(True) t_distribution() t 分布的检验分为三种类型：

2.1 单样本t检验：

单样本检验用于确定样本均值与总体均值之间是否存在统计显着性差异。

例如，随机选择某辆车进行尾气检测。数据如下。这辆车的尾气排放明显大于20吗？

某车型汽车尾气检测结果随机抽样

车辆尾气数据分布

显然不显着，t值=3.001649525885985，p值=0.014916414248897527。

又如：已知新生儿的平均体重为3.31公斤。 30名新生儿的样本来自高山缺氧地区。平均体重为3.21kg，标准差为0.5。该地区新生儿体重是否符合正常标准？

我们还可以使用单样本t检验：p=0.07079，我们可以得出结论，根据现有的数据信息，无法确定该区域的异常出生体重。

2.2 配对样本t检验：

配对样本t检验的目的是检验样本差异均值与0之间差异的显着性。

例如：某医院研究某种咖啡对成人心肌血流的影响时，随机选取12名健康成年人进行心肌血流检测。数据如下。那么，这种咖啡对心肌血流量有影响吗？然后我们可以使用配对t检验进行分析。

心肌血流数据

心肌血流数据直方图

t 检验双尾p 值=0.0032，存在显着差异。

2.3 独立样本t检验

独立样本t检验的目的是确定两个样本均值对应的总体均值是否存在差异。例如，工人A和B在同一台机床上加工的轴承零件的直径数据如下。工人A和工人B加工的产品有显着差异吗？

A、B机床加工轴承数据

A、B加工轴承直径分布

独立样本t检验p值=0.40810.05，我们可以认为两者的加工精度没有显着差异。

3.F-分布

F 分布是服从卡方分布的两个独立随机变量的比率除以其自由度的抽样分布。这是一种不对称分布，位置不可互换。相应的F检验也称为方差比检验、方差同质性检验。

(1) F分布概率函数：

(2) F分布期望和方差：

(3) F分布概率分布

#### F 分布def f_distribution(): ''' F 分布概率''' x=np.linspace(0,4.5, 10000) fd1=stats.f.pdf(x,10,10) fd2=stats. f.pdf(x,80,50) plt.plot(x, fd1, 'g--',label='y=f(x,10,10)') plt.plot(x, fd2, 'k- ',label='y=f(x,80,50)') plt.legend() plt.title('F distribution') plt.grid(True)f_distribution()F test 主要测试两组之间的差异数据关于稳定性，我们用上面工人A和B加工零件的例子来尝试一下。

F检验p值=0.9269，表明两组数据的稳定性没有显着差异，反映出工人A和工人B加工的零件稳定性相当。