理解交集的概念应关注四点

(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．

(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．

(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.

(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

[例1]

(1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝ ()

A．{－1,0,1}

B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2}

D．{0,1}

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于 ()

A．{x|x>－2}

B．{x|x>－1}

C．{x|－2<x<－1}

D．{x|－1<x<2}

[解析]

(1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

(2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

[答案](1)B (2)A

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．

(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．

练习：

若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有( )

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

解析：从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.

答案：C

[例2] (1)(北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x＜1}，则A∩B＝( )

A．{0}

B．{－1,0}

C．{0,1}

D．{－1,0,1}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )

A．{x|0≤x≤2}

B．{x|1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤4}

D．{x|1≤x≤4}

求交集运算应关注两点：

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性．

并集、交集的性质应用技巧：

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B⊆A，反之也成立；若A∩B＝B，则B⊆A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．

预警：含字母的集合运算忽视空集或检验

[典例]

(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )

A．1或2

B．2或4

C．2

D．1

(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．

[解析]

(1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．

(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，

∴当B＝∅时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；

当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；

当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．

[答案] (1)C (2){a|a≥2}

1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．

2．在本例(2)中，A∩B＝B⇔B⊆A，B可能为空集，极易被忽视．