高中数学：函数的单对称与双对称解析技巧及证明方法总结
大家好，今天小编来为大家解答高中数学：函数的单对称与双对称解析技巧及证明方法总结这个问题，很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
一、函数关于某点对称（单对称）
牢记：f(x)关于点（a，b）对称,则有y=f(x)=2b-f（2a-x）或者f(a+x)=2b-f(a-x)
（特别的，奇函数关于原点（0,0）对称）
证明：∵f(x)上关于点（a，b）对称
设P(x0,y0)为函数f(x)上任意一点，即y0 = f(x0)
关于点（a，b）对称的点为Q（x,y）
则有x0+x=2a,y0+y=2b
亦即 x0=2a-x,y0=2b-y
∴有2b-y=f(2a-x),
∴f(x)关于点（a，b）对称的表达式是y=f(x)=2b-f（2a-x），
也可表示为f(a+x)=2b-f(a-x)。
例1、已知函数y=f(x)的定义域是
，函数g(x)=f(x+5)+f(1-x)，若g(x)=0方程有且仅有7个不同的实数解，则这7个实数解之和为_________.
解：∵g(x)=f(x+5)+f(1-x)，令t=2+x，
∴g(t)=f(3+t)+f(3-t)=0
∴f(3+t)=-f(3-t)关于点(3,0)对称，
又方程g(x)=0有且仅有7个不同的实数解，
∴方程有一个根为3，其余六个根关于(3,0)对称。
∴这个实数解之和为3+3×6=21
二、函数关于某一条直线对称（单对称）
牢记：f(x)关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x),或者f(x)=f(2a-x).
（特别的，偶函数关于x=0对称）
证明：因为f(x)关于直线x=a对称,
设 (m,n)为f(x)上任一点,即n=f(m)
则(m,n)关于x=a的对称点(2a-m,n)也在y=f(x)上,
即 n=f(2a-m)
∴ f(m)=f(2a-m)
∴f(x)=f(2a-x).
三、双对称情形
3.1、牢记：函数f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称，那么f(x)是周期函数，周期是4|a-b|
证明：∵f(x)关于某点（a,m）成中心对称,关于直线x=b成轴对称
∴f(x)+f(2a-x)=2m①, f(2b-x)=f(x)②,
用2b-x代替x，代入①得
f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2m，再代入②得
f(x)=2m-f(2a-2b+x)，用2（a-b）+x代替x，得
f[2(a-b)+x)]=2m- f[4(a-b)+x)]，代入f(x)=2m-f(2a-2b+x)得
f(x)=f[4(a-b)+x)]
∴f(x)是周期函数，周期是4|a-b|
例4、已知f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1-x)=-f(1+x)，若x∈[0,1]时，f(x)=(x-1)，则f(2018)=（ ）
解：方法一、由题意，f(x)是定义域为R的偶函数
∴f(1-x)=-f(1+x)=f(x-1)，
令t=x-1，则x=t+1代入得
则f(t)=-f(t+2)
∴f(t+2)=-f(t+4)
∴f(t)=f(t+4)，即T=4，
∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.
方法二、利用点线双对称结论
∵f(1-x)=-f(1+x)
∴函数关于（1,0）对称
又f(x)是定义域为R的偶函数
f(x)是周期函数，且周期为T=4
∴f(2018)=f(2)=-f(0)=-1.
3.2、牢记：函数有两个对称轴（证明略）
f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|
3.3、牢记：函数有两个对称中心
有f(X）的2个对称中心（a,k）(b,k)则T=2|a-b|
证明：∵f(x)关于某点（a,k）(b,k)成中心对称
∴f(x)+f(2a-x)=2k①, f(x)+f(2b-x)=2k②,
用2b-x代替x，代入①得
f(2b-x)+f(2a-2b+x)=2k，再代入f(2b-x)=2k-f(x)得
2k-f(x)+f(2a-2b+x)=2k
解得：f(x)=f(2a-2b+x)
∴f(x)为周期函数，且周期为T=2|a-b|
用户评论
高中数学一直是我最头疼的部分，没想到这篇博文把函数的单对称和双对称讲得这么清晰！那些难懂的定义和证明方法终于变得简单明了了。感谢作者！
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函数的单对称和双对称真的是抽象的概念，我一直搞不清楚它们的区别。这篇文章把重点总结得很棒，配合图示讲解也很直观易懂，以后碰到这类题目就不用愁了。
有15位网友表示赞同！
感觉这条路径有点太枯燥了？数学真的不需要那么复杂化吧! 一点也不实际运用性！
有7位网友表示赞同！
数学还是要注重基础的理解，这篇文章总结得很细致，从定义、性质到解析技巧和证明方法都有涉及，非常全面。希望以后更多关于高中数学的学习资料能像这样讲解。
有19位网友表示赞同！
博主你是高数大神吗？写的太专业了，我还只是个高中生，看不懂一些技术性的表达...
有16位网友表示赞同！
原来函数的单对称和双对称是这样的！之前一直以为它们是一样的，现在知道了区别，感觉数学的奥妙真是无穷无尽啊。
有12位网友表示赞同！
我对这篇文章比较感兴趣，希望能再详细一点讲解一下一些特殊的例子或者应用场景，比如在物理、经济学等领域中如何运用到的
有14位网友表示赞同！
这篇文章内容丰富，逻辑清晰，值得点赞！虽然我不会把它全部都记住，但理解了大方向就很不错了。我会结合自己的练习来加深记忆。
有13位网友表示赞同！
终于找到解决函数单对称双对称的办法了! 感谢博主分享这种清晰易懂的总结方法！
有16位网友表示赞同！
这篇评论区好热闹，我看到大家都对高数这个科目很有热情呢。我也在努力学习，希望大家都能顺利通过考試！
有17位网友表示赞同！
其实高中数学有很多这样的概念都比较抽象，需要花费时间去理解和记忆。但是这篇文章讲解得很好，让我感觉那些复杂的概念变得简单易懂了。
有8位网友表示赞同！
我以前一直认为函数的单对称双对称都一样，直到看了这篇博文后才发现它们的区别！感谢作者的分享，帮助我解开了一个长时间困惑的问题！
有10位网友表示赞同！
我觉得这篇文章的重点总结得太棒了，不仅涵盖了定义和性质，还详细介绍了解析技巧和证明方法。对于想要深入理解函数单对称双对称的学生来说，这是一篇非常有价值的文章。
有8位网友表示赞同！
这个解析技巧真是太妙了！我现在试着用它来解答一些之前答题困难的题目，希望能有所突破。
有7位网友表示赞同！
我感觉这篇文章还缺点一些实例分析和应用场景讲解，这样能更直观地帮助我们理解这些概念在实际生活中的意义。
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其实我觉得高中数学的重点应该是学习思考的思维方式，而不是死记硬背公式或技巧。但这篇文章虽然很详细，但也有一些地方需要自己多去思考总结。
有7位网友表示赞同！
这篇博文太赞了！我最近复习函数的时候遇到了一些瓶颈，看了这篇文章后终于明白了！以后碰到类似的问题就不用再挠头想啦。
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用户评论
函数单双对称的概念很重要啊，一直以来我都不太明白怎么理解
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学了这个之后感觉函数的应用场景一下子变多了
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讲道理，数学课还是要多复习证明方法，这样才能更好地理解题目的本质
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高中数学真是考验逻辑思维能力！
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证明思路、方法和技巧归纳这部分内容应该多看几次笔记啊，容易忘记的
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如果能有更多例句说明单双对称问题，那理解起来会更直观
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这个题目很实用，现在越来越知道数学课的知识点如何运用到实际生活中了
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终于明白了函数图象的对称性质是怎么样的!
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数学证明确实是一个挑战，需要不断的练习才能掌握
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学完了数学必修1感觉对函数有了更深的理解。
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想要把数学基础打好，这个部分真的是不可或缺的
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建议老师多给出一些不同的证明方法，这样思路就能更加灵活
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这次考试准备好好背诵这部分内容，争取得了高分!
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希望以后的学习课程能多多结合应用场景，让学习更生动有趣
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数学的魅力在于它的严谨逻辑和广泛应用！
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这个视频讲解的很清晰，我终于明白了单双对称的概念了
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单双对称问题经常出现在高考数学中，所以要提前掌握这些规律
有7位网友表示赞同！
学习数学需要坚持不懈的努力，只有不断练习才能提升思维能力
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希望以后继续学习更高难度的数学课程，挑战自我!
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