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------从2024 年高考综合改革适应性测试卷得到的启示

章建跃

2024 年，吉林、黑龙江、安徽、江西、广西、贵州、甘肃等第四批高考综合改革省份将首考落地，为实现平稳过渡，相关省份在1月19日、20日组织了适应性演练。数学科适应性测试题由教育部教育考试院命制。适应性测试卷公布后，网上又出现了大量吐槽，还有危言耸听的“高考数学大变天了”。认真看了老师们的说法，说句不中听的话，许多老师并不懂得如何研究高考题，大家的关注点是多少道题目、各板块题目位置的变化、题目赋分的变化、考所有板块还是选考几个(解答题只考了导数、统计概率、立体、解析几何、新定义)、题目的解法有多少种，更令人哭笑不得的是还有“立体图形怎么这么斜?”的疑问。特别是对最后这道题目:

老师们都说这道题目“超纲了”，这是不是要让学生去学奥数?至少要学数论的相关知识,有“专家”还真的介绍了这道题的“背景知识”，如“整除性”、“同余及其基本性质”、“完全剩余系和既约剩余系”“费马小定理”、“离散对数”等等。显然，这些讨论有表面化的嫌疑，其中还有许多牢骚。发牢骚不能解决问题，对广大教师把握高考数学命题改革大方向没什么益处。那么，我们该如何客观、正确地分析这份卷子呢?如何从中得到一些高考复习的启示?这里我想谈一点不成熟的想法。不当之处敬请批评。

首先，这份卷子减少了题目数量，这一改革方向非常正确，应该给予充分肯定。我认为题目还可以再少些,我当年参加高考时，数学试卷就是 10 道题左右。试题数量适当(当然，多少题才“适当”需要研究，但现在题目太多是肯定的)，好处就是可以加强对数学思维过程的考查，这是符合数学学科特点的，也反映了数学课程的育人功能。实际上，数学高考试卷搞到 20 多道题，有点受美国“标准化考试”的影响，试图通过选择题、填空题等等增加所谓的覆盖面并提高公平性，愿望是好的，但效果不理想，而且是导致高中数学教学搞题型、套路和机械刷题，通过“刺激-反应”训练以提高解题速度等等的根源。因为题目数量多，如果速度上不来就做不完，所以应对的办法就是通过刷题训练提高反应速度，达到“一看就会，一做就对”的程度，这显然与数学的本质属性相违背。

其次，落实“遵循教育规律，注重考查对基础知识、基本技能、基本方法的深刻理解，引导学生要知其然，更知其所以然。学有所思、思有所疑、疑有所问、问有所悟，引导教学把精力放在讲透课程重点内容上。强调在深刻理解基础上的融会贯通、灵活运用，不考死记硬背、不出偏题怪题，平和中有新意，灵活中见潜力，实践中出真知，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养”的高考命题改革精神。容易发现，这套试题的大部分都是常规题，其中 1，2，3，4，10，12，15 题(共44 分)是简单题，就是考查基本概念和基本运算;5，6，7，9,11，13，16，17题(共62分)是中档题，重点考查常规计算和推理。这些题目加起来有 106 分之多，它们与教材中的题目并无二致，考查的就是“基础知识，基本技能，基本方法”，如果学生熟悉教材，那么完成这些题目的解答是比较容易的。在与老师的交流中我经常问，“你们学校数学高考均分是多少?”绝大部分的回答都是 80 分以内。对此，我提出的建议是:让学生把教材从头到尾仔细读几遍，把概念理解清楚，教材中的定理、公式等都要会推导，教材中的题目大部分要过关，那么均分 90 分以上(也就是个及格)绝对没问题。上新课时不要赶进度，认真仔细地把教材搞懂，在夯实基础上下功夫，也不必用什么教辅资料(如果要给尖子生加码，老师可以每天给他们出一两道综合性的、灵活性较大的题目，让他们自己去钻研就可以了);在高考备考阶段，可以按照函数、几何与代数、概率与统计对教材进行整合，引导学生在知识的变式表达、联系与综合上下功夫，教材上的一些典型题目要让学生反复琢磨，并进行适当拓展;另外，还要适当安排数学建模活动、数学探究活动。我认为，这套测试卷已经说得再明确不过了:教学如果再不重视教材、重视概念，不在夯实基础知识上下功夫，不给学生留出充分的独立思考、自主学习的时间和空间，而是用大量刷题把所有时间占满，那么结局必然是高考败北。

第三，落实高考命题改革“注重学用结合，创设真实情境，紧密结合国家经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等创设情境，充分考虑学生学习和生活实际，把课本知识与“具体真实的世界’联系起来，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决实际问题的能力，引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养”的要求，第 19 题就是代表。这个题目的背景是盖莫尔(EIGamal) 加密体制，这是一种国际公认的较理想公钥密码体制，是网络上进行保密通信和数字签名的较有效的安全算法在网络安全加密技术中有广泛应用。我想，这个背景我们都不熟悉相信大家也都明白它不是要考查数论、密码学等方面的知识。这个题目考查的是学生的数学思维方式，包括对研究对象定义的理解，基于定义的逻辑推理、数学运算，当然还有阅读理解、数学表达等等。我估计，在阅读这个题目时，数学符号将会是很大的拦路虎，而符号化正是数学文本的独特之处。所以，教学中加强教材的阅读理解，引导学生读一点数学书，加强实际问题转化为数学问题的训练(包括符号化表达的训练)，对提升学生的应试水平是非常重要的。

同时，为了落实中国高考评价体系中“四翼”的考查要求,考查学科知识的综合应用能力，测试卷在创设情境时，加强了数学知识的内在联系与综合。例如，第8 道题

融合了双曲线定义、向量数量积、余弦定理、平行四边形性质等，充分体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法解决的学科思想。只要基本概念清楚，常用知识牢固，这个题目就可以非常简洁地给出解答(网上有的解答有点绕弯子)

第四，落实高考命题改革突出思维品质考查的要求，“通过材料信息的丰富性、试题要素的灵活性、解题路径的多样性等增强试题的开放性，强调思维过程和思维方式，鼓励学生多角度主动思考、深入探究，发现新问题、找到新规律，引导学生在学习和备考中减少死记硬背和机械刷题。”例如，第18 题

解答第(1)问时，利用抛物线的对称性就可以直接得出定点一定在x轴上,据此可以为解题提供明确的思路。看网上的一些解答圆锥曲线基本性质在解题中并没有充分发挥作用，我觉得这也是导致解析几何复杂运算的根源之一。对于第(2)问，如果按“套路”解题，求出A，B，D，E的坐标，推出直线AE，BD 的方程求出交点 G的坐标，再写出∆GMN面积并求其最小值，这个容易想到但计算量很大。但如果能分析一下图形的结构，发现∆GMN与四边形ADMN的面积相等，那么就可以通过四边形 ADMN的面积而轻松地求出∆GMN 面积的最小值。我曾经在一篇“编后语”中强调，解析几何中的运算是“带有几何特征的运算”，如果只知道“死算”，不注意利用图形要素、相关要素的基本关系以及图形之间的相互关系(例如本题中的对称、垂直等)，那么解析几何的运算难点是很难突破的。

其实，这个命题思路也不新鲜。在人教 A 版推导点到直线的距离时就有这样的“思考”问题:

对于解析几何的复习备考，我曾经在很多场合提醒，大家一定要注意解析几何的学科特点，它的研究对象是几何图形，研究工具是直角坐标系,采用数形结合思想,通过代数方法解决问题。所以，解题时必须先分析清楚问题中几何图形的要素、要素间的基本关系，然后再建立方程解决问题，这样才能有效避免复杂运算。所以，平面几何知识，尤其是三角形知识，是非常重要的。正因为如此，人教 A版教材中专门设计了数学探究活动“用向量方法研究三角形的性质”，其目的就是为了让学生系统梳理三角形知识，完善三角形知识结构，从而为三角函数、解三角形、立体几何、解析几何等板块中的问题解决奠定基础。可惜太多老师不了解教材的这个意图，教学中不负责任地放弃了这个内容。

限于篇幅，不再讨论下去了。最后还是想对第 19 题表达一个观点:它本来就不是为大多数学生命制的，而是为了拔尖人才选拔的需要，更何况这只是一次“适应性演练”，所以我们也不必太在意，对压轴大题应平常心待之。进一步地，如果高考命题只追求均值而不顾方差，优秀学生不能脱颖而出，那么我国基础科学研究人才培养就会受到极大阻碍，建设创新型国家的目标也就很难实现。另外，这类题目的解答其实并不是靠老师教会的，因为它考查的不是具体知识，而是数学的思维方式。我认为，老师应树立这样的观念:课堂上应该以解决基础题、中档题为主，“压轴题”是给那些数理尖子生做的,应通过差异化教学,作个别辅导来解决;进一步地高分是学生自己有这个水平，并不是教出来的。这样，有些老师提出的疑惑，如:一线教师是否能用数论的知识(同余的概念及费马小定理)讲解这一问题?今后数论的知识是否会进入高中数学课堂?等等是完全没有必要的。其实，你就根本不需要讲解这个题目。