探索实数理论的构建：有理数定义的革新之路
大家好，今天给各位分享探索实数理论的构建：有理数定义的革新之路的一些知识，其中也会对进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！
A=0.a1a2...ap （1）
或者
B=0.a1a2...ap... （2）
两种形式，其中a1，a2，...，ap是取值0或者1到9的自然数。我们称A为有限小数，B为无限小数。可以发现，有的分数可以化为有限小数，有的分数虽然不能化为有限小数，但是去能化为循环的无限小数，比如，
1/2=0.5
1/3=0.333...
1/6=0.1666...
1/7=0.142857142857...
等等。这个表达是不是具有一般性呢？也就是说，是否“所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数”呢？答案是肯定的，我们来证明这个结论。
考虑分数m/n，不失一般性，我们假定m 那么，现在是否就可以用“有限和无限循环小数”来定义有理数呢？为时过早，如果要对一个已有的定义构造一个新的定义，那么，这个新的定义的前提与结论必须是充分必要的，因为只有这样才能保持定义的等价性，为此，我们还需要证明“有限小数或者无限循环小数都能化为分数”。由（1）式，一个有限小数可以写为 A=a1/10+a2/102+...+ap/10p 这显然可以对应于一个分数。一个无限循环小数可以分为两部分，一部分是前面有限个（可以是0个）不循环项，然后是无限个循环项，不失一般性，我们假定无限循环小数是由循环项构成的，这样，（2）式可以写为 B=0.a1a2...ap a1a2...ap a1a2...ap... =a1(1/10+1/10q+1+1/102q+1+...)+...+aq(1/10q+1/102q+...) =C(1+1/10q+1/102q+...) 其中，C=0.a1a2...ap，括号中是一个等比级数，公比是1/10q，其中q≧1。用sn表示前n项部分和，即 sn=1+1/10q+1/102q+...+1/10nq =[1-1/10q(n+1)]/(1-1/10q) 因为1/10q<1，容易验证当n→∞时sn→1/1-1/10q，因此 B=0.a1a2...ap/1-1/10q 这显然是一个分数，因而是一个有理数。 现在，我们可以给出有理数的基于小数的定义了：“有理数是有限小数或者无限循环小数”。进而可以得到无理数的定义：“无理数是无限非循环小数”。在这个基础上，可以得到实数的定义：“有理数和无理数统称为实数”。我们用R表示实数的全体所构成的集合。我们终于把实数刻画清楚了，并且还知道实数是与数轴上的点对应的。 我们还需要通过建立实数的运算来检验这种实数的定义是否合适。显然，这个运算是以有理数的四则运算为基础的，而重点是解决无理数的运算。以√2与√3的运算为例，下面是利用计算器计算的结果。由√2=1.4142135...和√3=1.7320508...，可以得到 √2+√3=1.4142135...+1.7320508... =3.1462643... √2•√3=（1.4142135...）•（1.7320508...） =2.4494896... 因此，利用“无限非循环小数”定义无理数进行四则运算是可行的。事实上，在计算机中就是这样进行运算的。 但是，我们应当如何证明√2•√3=√6呢？当然可以计算出√6=2.4494896...，虽然这个结果与上面的计算结果很接近，但是这样依赖验证的方法来证明无穷的情况是不合适的，并且得不到一般性的结果，即无法证明对于所有的正实数a和b均有√a•√b=√a•b。所有，用无限非循环小数定义无理数是直观的，对于运算也是可行的，但对于给出证明，特别是给出一般性的结果是不方便的。 为了解决上面的问题，从魏尔斯特拉斯开始，以后有许多数学家，包括德国数学家戴德金，康托，在1872年左右几乎同时发表文章，建立他们的实数理论。接下来，我们一起来了解一下两个主要的方法，他们是“基本序列方法”和“戴德金分割方法”。
用户评论
看完这篇博文后我真的对实数的概念有了更深刻的理解。以前一直觉得实数和有理数的区别好像很模糊，但作者用通俗易懂的方式解释了有理数定义的变更是如何推动实数理论构建的核心思想的！
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很有意思的观点！我一直以为实数是从有理数简单扩展而来，没想到还有这么复杂的过程。感觉这篇文章把我带进了一个全新的数学世界，期待了解更多相关内容。
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我觉得这篇文章讨论了非常重要的话题，对理解整个数学体系至关重要。但对于非专业人士来说，一些数学概念的解释可能比较抽象难懂，希望能有一些更形象的例子进行辅助说明，这样更容易让人们接受和理解。
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作者你真是太厉害了！把这么复杂的概念讲解得如此清晰易懂，我是一个刚接触实数理论的人，看完这篇博文仿佛打开了新的大门，非常感谢你的分享！
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对有理数定义的革新之路这个说法有些许疑问，我觉得还是应该关注实数本身的特点和应用范围，而不是过度纠结于其背后的逻辑构建过程。
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这篇博文很好的展现了作者的数学功底和学术研究水平。通过对实数理论的构建过程进行深入探索，我们更能理解到数学发展过程中那些看似抽象的逻辑推理背后隐藏的深刻意义。
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感觉文章写的挺深入的，我虽然不是数学专业的学生，但还是受益匪浅。作者把问题分析得细致入微，让我对实数理论有了更清晰和透彻的认识。
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这篇文章对实数理论构建过程做了很好的阐述，特别是对于有理数定义革新的部分，给了我很多启发。我想继续深入学习关于实数理论的相关内容，以便更好地理解现代数学体系的发展历程。
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作者分析的思路很明确，语言也很流畅易懂，值得一读！但是我觉得还可以进一步探讨实数理论在实际生活中应用的场景和意义，这样能够更加生动地展现其价值，吸引更多读者参与讨论。
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我以前对实数只是一些概念性的理解，看完这篇博文才知道它的历史演变轨迹以及构建背后的逻辑关系。作者把“有理数定义革新”这一关键点强调得很好，让我更加重视实数理论的深层意义。
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同意作者观点，实数理论的构建是数学发展史上一个重要里程碑，对现代数学体系产生了深远影响。文章讲解详细透彻，让我受益良多！
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这篇文章很有深度，把实数理论和有理数定义之间的关系阐述得淋漓尽致。我之前从未考虑过这些问题，真是开阔了我的眼界。期待看到作者更多关于数学领域的精彩文章。
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说实话，我觉得这篇文章对普通人来说有点难懂，里面很多专业的数学术语和概念让我头疼！希望下次作者能用更通俗易懂的语言讲解，这样就更容易让人们理解了。
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有必要关注实数理论的构建过程吗？我对这个观点持怀疑态度。我觉得应该更加侧重于实数本身的性质与应用，而不是陷入过于抽象的历史演变中去。
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我更倾向于作者对“有理数定义革新”这一概念的阐述。确实，改变原本固定的思维模式，才能推动数学理论不断发展进步。这篇文章让我意识到学习数学不仅要记住公式和算法，更要注重理解其背后的逻辑思维方式。
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我认为实数理论的构建过程中，除了有理数定义革新，还有很多其他重要的因素需要考虑，比如无限集的概念、完备性等等。作者应该更加全面的分析这些因素，才能形成更为深入和系统的理论阐述。
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用户评论
这让我想到以前学习数学时遇到的问题概念，很想知道如何用这个新的定义更好地理解实数。<br>
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一直觉得数字的世界充满了奥秘，现在看到这个题目更想深入探索背后的逻辑结构。
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实数理论确实很重要，它为很多学科的构建奠定了基础啊。
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有理数的定义好像很单纯的，但想不到还能用这样的方式理解实数。
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学习数学真是一件很有成就感的体验，从一个简单的概念到复杂的理论体系，令人心神荡漾！
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这篇文章让我对数学的深度有了更深的认识，原来数字背后的逻辑是那么精妙！
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好奇这个实数理論的新定義会怎样改變我們對數學的理解？
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学习数学就像探索一个未知的世界，总能不断地发现新的知识和乐趣。
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以前没想那么多，现在听到这个题目感觉学数学真是太重要了!
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我一直喜欢解数学题，不过对那些专业的理论没太深入了解。这篇文章可能很有帮助。
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这样的文章可以让我们更好地理解数学的本质，而不是死记硬背公式。
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数学就像一扇通往世界奇妙的大门，只要敢于探索，就能发现无限的奥秘！
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这个题目听起来很专业，但希望我能从中学到一些新东西！
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我相信学习数学能锻炼我们的逻辑思维能力和解决问题的能力！
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我很想读这篇关于实数理论文章，希望能更深入地了解这些概念。
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数学是连接世界的力量，让我们能够用理性去思考和理解自然。
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这篇文章让我对数学的魅力更加深入了感悟！
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希望这个新的定义能帮助我们更好地学习和应用实数理论。
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