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——“几何证明选讲” 八年全国课标卷高考试题分析

刘跃梅（山西省临汾市第一中学）

摘要：“几何证明选讲”的试题在八年全国课标卷的高考中，基本以三角形和圆为载体，考查相似三角形的有关定理及圆的有关知识，但是近两年又逐步融入了平面几何的其他知识，强化了对综合能力的考查。分析试题特点，找到教学应对的策略，即掌握基本定理，基本图形，立足基础，用好教材，争取做到举一反三，提高分析解决问题的能力，才能轻松应考。

关键词：几何证明选讲；全国课标卷；高考试题特点；教学策略

一、“几何证明选讲”八年全国课标卷命题的特点分析

1．以考查圆的有关知识（尤其四点共圆、圆周角定理与弦切角定理）为主，逐步融入初中平面几何的相关知识

八年来的10道考试题，考查的基本都是圆的相关知识。其中2007年考题的第（1）小题，2009年考题的第（1）小题和2011年考题的第（1）小题都是要求证明四点共圆；2014年Ⅰ卷与2013年Ⅱ卷考查了四点共圆的性质；2007年、2010年、2013年Ⅰ、Ⅱ卷和2014年Ⅱ卷都考查了圆周角定理； 2008年、2010年、2013年Ⅰ、Ⅱ卷和2014年Ⅱ卷都考查了弦切角定理。但2012年考查的却是平行判定与三角形相似的判定，加强了对初中平面几何知识的考查；2014年Ⅰ卷的第（2）小题主要考查初中平面几何知识，围绕角度关系考查了等腰的性质、等边三角形的判定、垂径定理、平行线所成角的关系等；2014年Ⅱ卷以圆为载体，围绕长度关系考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的性质、切线长定理、切割线定理、相交弦定理、平行线等分线段长比例定理、勾股定理等，呈现出的是初高中知识的“大融合”。这种变化使得试题的综合性逐步增强。

2．重点考查相似的证明和应用，并逐步强化综合

10道考试题中，有4道题（2008年、2010年、2011年和2012年）直接考查三角形相似，其中2012年的第（2）小题要求证明两三角形相似。但在近两年的考题中，以基本知识为载体，在突出考查能力的同时，加强对数学思想方法的掌握和运用的考查，由“知识立意”转变为“能力立意”，逐步强化综合知识与能力的考查，如2013年Ⅱ卷与2014年Ⅱ卷。

3．源于教材

10道考试题大多源于教材且根植于教材。例如，2007年与2011年的考题都源于教材第二章第二节的例2；2008年的考题源于教材第一章第四节的例1；2010年的考题源于教材第二章第四节习题的第1题与教材第二章第五节的例5。有的试题是由教材中例题和习题经过组合、加工、延伸、变化而成，如2013年Ⅰ卷。

4．注重了知识的交会

在2011年考题中，将一元二次方程的根与三角形相似进行了联系，突出了知识点的交会。

二、教学方向的把握

试题的形式多样，知识呈现的方式也多样，这是数学学科的特点，也是高考命题的方向。如果我们能立足于基础，即熟练掌握基本知识和基本技能，能识别复杂图形中的基本图形，就能以不变应万变，也只有做到这样，才能应对各种题型，这也是数学教学的努力方向。

根据上述分析，高考题中对几何证明选讲知识领域的考查主要是对基本图形及其性质的理解与应用，并关注对合情推理、演绎推理和逻辑思维能力的考查。因此，在几何证明选讲的教学过程中，应该注意以下几点。

1．列好知识清单，掌握基本知识，巩固核心思想方法

学生只有储备了充足的知识和方法，充分地理解了知识和切实地掌握了思想方法，才能提高分析和解决问题的能力。因此，在几何证明选讲的教学中，要以教材中的定义、定理及结论为主，引导学生扎扎实实搞好对基本知识的学习和总结，尤其是重点知识。例如，相似问题，圆的相关定理（特别是四点共圆、圆周角定理、弦切角定理和圆幂定理）等；同时注意培养学生的识图、析图能力，加强对学生逻辑推理能力的培养，注意动与静及定与变等运动变化思想方法的渗透，注意化归与转化思想的运用。

（1）加强过程性，使数学思想方法的学习和数学能力培养落在实处。

我们知道，正确的数学结论的形成一般都需要经历发现和证明两个主要阶段，这两个阶段都具有过程性。为此，在教学中，我们应该在教材中的定理的引入和证明中，关注其发生发展过程，引导学生领悟定理产生的背景，经历知识发展的过程，从而提高学生观察问题、提出问题和解决问题的能力，培养学生的数学探究能力。

例如，对于圆内接四边形的性质与判定定理教材是这样安排得。首先，类比任意三角形都有外接圆提出任意四边形是否都有外接圆的问题，引发学生的思考；其次，从正方形及矩形等特殊四边形入手，探究内接于圆的四边形会有怎样的共同特征，进而得出对于圆内接四边形性质的猜想和证明；在得出性质定理后，再考查其逆命题是否成立，即证明圆内接四边形的判定定理。在定理的探究与证明过程中，运用了从特殊到一般的思路，即分类讨论法和反证法。因此，在教学中，我们不要忽略这一探究与证明的过程，而直接进入定理的应用，应该引导学生经历这一知识的发现和证明过程，这样学生才能够比较牢固地掌握这一知识，其观察问题、提出问题和解决问题的能力以及数学探究能力也会随之得到提高，同时学生的推理能力也得到了培养。

（2）加强对学生几何直观能力的培养。

首先，强调在直观图形背景中的直观思考，给学生提供观察图形、建立联系、获得几何定理猜想的基础。例如，在学习平行线等分线段定理时，首先给出一组图形，通过观察可以明显感知到等分的特征，从而为形成猜想打下基础。

其次，强调运动变化过程中的直观图形，引导学生观察运动过程中图形的不变性。例如，在与圆有关的比例线段的教学中，通过平移及旋转等，引导学生观察图形变化过程中的特征，把相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理等统一在图形的变化过程中，这样学生不仅获得了定理，而且形成了相关知识之间的联系，并能建立起结构功能良好的与圆有关的比例线段的认知结构。

2．注重对基本图形及其基本性质的理解和应用，能够在复杂图形中寻找到基本图形

借助一题多解，不仅使学生巩固了基础知识，而且开拓了分析及解决问题的思路，同时培养了解决问题的能力。

4．教材习题的拓展

几何证明选讲这部分内容是对初中平面几何知识的延伸，考题难度是中等偏下，从八年来的考题分析可以看到，其基本上以圆、三角形和四边形这几个图形为载体，考查它们的边角关系；因此，图形与定理是我们解决问题的根本，基本图形与基础知识是我们分析问题的依据；对此，在平时的教学中，我们应该引导学生掌握基础知识、基本图形和基本思想方法，借助教材内容培养学生的直观感知和逻辑推理等数学能力，进而提高学生分析及解决问题的能力。

参考文献：

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