二次函数

例题1：

已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.

(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；

(2)已知，不计算函数值，求f(0)；

(3)不直接计算函数值，试比较的大小.

点拨：

解：

总结：

练习：

1．已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax，分别在下列条件下求实数a的取值(范围)．

(1)f(x)在(－∞，2)上是增函数；

(2)f(x)的递增区间为(－∞，2)．

【解】∵函数f(x)＝－(x－a)2＋a2的图像开口向下，对称轴为x＝a，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，a]．

(1)由题意知(－∞，2)⊆(－∞，a]，

∴a≥2，即实数a的取值范围是[2，＋∞)．

(2)由题意知，对称轴x＝a＝2，即实数a的取值为2.

例题2

某企业生产一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系用抛物线段表示，如图2­-4-­2.

(年产量与销售量的单位：百台；纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)

(1)写出如图的销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；

(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与去年生产量的函数关系式，并求去年生产量是多少时纯收益最大．

点拨：

解答本题可先由图求出销售收入与销售量之间的函数关系式，即R＝f(t)，然后建立纯收益与销售量之间的函数关系式，进而求出纯收益的最大值．

解：

小结：

求解实际问题“四部曲”：读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）。

（2）建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题.

(3)求解：选择合适的数学方法求解函数.

(4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测.也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤

练习：

某工厂以x千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是，若生产该产品900千克，求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？

解：

探究 1：

求二次函数f(x)＝x2－2x＋3在[－2,0]上的最值．

【提示】由f(x)＝(x－1)2＋2知抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∴f(x)在[－2,0]上单调递减，

∴当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；

当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.

探究 2：

求探究1中函数f(x)在[－2,3]上的最值．

【提示】当x∈[－2,3]时，f(x)在[－2,3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，

又|－2－1|＞|3－1|，

∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.

例题3：

求探究1中函数f(x)在[t，t＋1]的最小值g(t)．

点拨：

可分析x＝1与区间[t，t＋1]的关系，就x＝1是否落在区间[t，t＋1]内展开讨论．

点拨：

求二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0）在[m，n]上的最值的步骤：

（1）配方，找对称轴.

（2）判断对称轴与区间的关系.

（3）求最值.若对称轴在区间外，则f（x）在[m，n]上单调，利用单调性求最值；

若对称轴在区间内，则在对称轴取得最小值，最大值在[m，n]端点处取得

练习：

求探究1中函数f(x)在[t，t＋1]上的最大值h(t)．

【解】①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，

所以当x＝t＋1时，f(x)取得最大值f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋3＝t2＋2.

，f(x)在[t，t＋1]上先减后增，且对称轴更靠近于端点t，此时当x＝t＋1时，f(x)取得最大值