复旦大学高等代数教材从 1993 年 9 月开始在复旦大学数学系使用，1999 年 5 月正式出版；2003 年 6 月作为博学·数学系列第一版出版；2008 年 6 月作为博学·数学系列第二版出版；2014 年 10 月作为博学·数学系列第三版出版；2022 年 11 月作为博学·数学系列第四版出版，至今已有 30 年的历史。

二、教材特点

（1）贯彻“以学为中心”的教学理念，构建高等代数新型学习体系

本教材在编写的过程中，始终贯彻“以学为中心”的教学理念，倡导“启发式教学”，充分调动学生的学习主动性。在基本概念的引入方面，本教材注重从具体的问题出发，避免从概念到概念以及形如“定义 → 定理 → 证明”的抽象叙述方式。在行列式、向量组的线性关系、向量组和矩阵的秩、相似标准型和二次型等知识点的引入上都具有鲜明的特色。在知识体系的展开方面，本教材坚持“问题导向”，以线性方程组的求解、线性变换表示矩阵的简单化以及二次超曲面的分类这三大问题为切入点，通过不断地提出问题、分析问题和指明解决问题的途径，让学生主动地思考问题，提高分析能力和动手能力。

近 10 年来，我们构建了以教材和在线课程为基础，以学习方法指导书和习题课在线课程为提高，以高等代数习题集、每周一题和博客为进阶的高等代数新型学习体系。本教材正是这一新型学习体系的支撑和引领，在帮助学生建立完整的知识体系及其应用框架的同时，力求让他们掌握高等代数中的重要思想和方法，并为后续专业课程的学习打下坚实的基础。

（2）采用以“线性空间为纲”的结构，注重代数与几何之间的相互转换和有机统一

本教材采用“以线性空间为纲”的结构，即把高等代数的主要内容放在线性空间的框架下展开，同时对必要的代数方法作了详尽的介绍。实践证明：几何直观可以帮助学生更好地理解，而代数方法则比较简洁直接。本教材注重代数与几何之间的相互转换和有机统一，培养学生深入理解几何意义，熟练掌握代数方法，灵活地在代数与几何之间相互转换。这符合现代数学的发展潮流，有利于学生理解现代数学中的重要思想和方法。

（3）顺应新时代拔尖创新数学人才的培养需求，内容选材与时俱进，不断打造精品教材

本教材 30 年间历经数次修订，内容丰富详实、选材与时俱进，涵盖了行列式、矩阵、线性空间与线性方程组求解、线性映射、多项式、特征值、相似标准型、二次型、内积空间和双线性型等重要理论。21 世纪以来，以人工智能、大数据科学和 5G 技术为代表的高新科技异军突起，而数学（例如矩阵分解理论）正是这些高新科技的幕后推手。为了顺应新时代对拔尖创新数学人才的培养需求，我们在教材第三版中增加了大量矩阵分解的内容，并强调了它们的相关应用；在第四版中增加了“历史与展望”栏目，介绍了相关知识点的历史背景，这些内容为课程思政教学提供了丰富的素材。本教材 30 年来不断打磨、精益求精，连续荣获“十五”、“十一五”和“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。使用本教材的复旦大学高等代数课程荣获 2020 年首批国家级一流本科课程。

三、使用高校

（1）现使用本教材的高校还有：清华大学数学科学系以及工科衔接方向，上海财经大学财经数学实验班，北京理工大学数学强基班，中国海洋大学数学学院，上海海事大学文理学院，郑州大学数学与统计学院，北京师范大学数学学院，苏州大学数学强基班，湖南科技学院理学院（信息与计算科学专业），山东大学数学学院，湘潭大学数学与计算科学学院韶峰班，南京师范大学数学学院（金融学+数学与应用数学双学士学位班），河西学院数学与统计学院，六盘水师范学院数学与统计学院（数学与应用数学专业），云南师范大学数学学院（统计学专业），广西民族大学数学与物理学院（“代数选讲”课程），北京科技大学数理学院（“工科高等代数”课程），上海理工大学理学院（“高等代数专题”课程），中国劳动关系学院经济管理学院（应用统计学专业）等。

（2）曾使用本教材的高校有：厦门大学数学学院（2008 年 9 月—2012 年 6 月，教材第二版），浙江大学拔尖人才求是数学班（2012 年 9 月—2020 年 6 月，教材第三版），杭州师范大学经亨颐学院理科综合班（2012 年 9 月—2020 年 6 月，教材第三版）。

四、同行评价

（1）清华大学数学系的高等代数课程从 2010 年 9 月开始一直使用本教材，教学效果良好。

清华大学高等代数教学团队评价：“这是一本适合综合性高水平大学数学系或数学学院培养高水平数学人才的高水平代数教材。”

清华大学数学系肖杰教授评价：“这是一本优秀的由代数人写的（高等）代数教材。”

清华大学数学系朱彬教授评价本教材具有五个特色：

1. 注重初学者的知识衔接，让新同学有一个友好切入口能顺利递进到大学内容学习；

2. 注重高等代数教材中几何内容与代数内容的交融，代数方法与几何方法的相互借鉴与转化；

3. 注重代数分类思想和方法的体现；

4. 注重内容上从简入难，循序渐进；

5. 注重习题编排。

（2）浙江大学拔尖人才计划“求是数学班”的高等代数课程从 2012 年 9 月至 2020 年 6 月使用本教材第三版，教学效果良好。浙江大学数学学院卢涤明教授评价：“本教材从深度和广度两方面都体现了作者注重数学思想方法的传授和思维能力培养的主导思想。几经再版，教材已成经典。”

（3）厦门大学数学学院的高等代数课程从 2008 年 9 月到 2012 年 6 月使用本教材第二版，教学效果良好。国家级教学名师、万人计划教学名师、厦门大学数学学院林亚南教授评价：“复旦大学以《高等代数学》和《学习方法指导》为代表的教学成果效果显著，特色鲜明，示范性强，值得进一步肯定与推广。”

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2022.11

高代白皮书第四版于 2022 年 11 月正式出版了。相比于第三版，高代白皮书第四版有哪些改动，增加了哪些新内容，又有怎样的特点呢？下面我们分八个方面进行介绍。

一、与高代教材第四版高度匹配

白皮书编写的章顺序与教材完全相同，而且讲述的思想、方法和技巧都是教材内容的自然延拓与提升，这使初学者能同步地学习教材和白皮书，循序渐进地掌握高等代数中的各类知识点和解题方法。此次教材和白皮书同时修订出版，也使两者在习题和例题方面达到了更高的匹配度。在教材每节习题和每章复习题中，计算题和简单证明题可以在官方解答中找到答案，而其余证明题则可在白皮书中找到对应的例题。

二、按照方法和技巧进行主题分类

白皮书在主题的划分和例题的选取上主要按照方法和技巧进行分类，而不是将例题按照章节内容简单地罗列在一起，强调思想、方法和技巧在高等代数学习过程中发挥的重要作用。正是因为这个原因，白皮书编写的节顺序与教材并不一致，这一特点最明显地反映在第 8 章。初学者可能会有些不适应，但读过一两遍之后便能体会到如此安排的妙处。

三、整体构架安排合理

白皮书每一章的结构都是先阐述基本概念和定理，然后讲解典型例题，最后还安排了一定数量的基础训练题，包括单选题、填空题和解答题 3 种类型。这一顺序符合学习的规律，也是复旦大学数学科学学院高等代数习题课通常的授课方式，得到了历届学生的肯定，取得了良好的教学效果。

四、注重方法技巧的总结与归纳

（1）在每一节的开始部分或在某些例题解答之后的备注中，都会对相同类型问题的解题方法和技巧作一归纳和总结，使读者通过典型例题的学习之后能够举一反三、触类旁通，避免陷于题海战术之中。

（2）在讲述大型主题时，先将所有的方法列出，后续章节再逐步补充完整。例如，§ 2.4 可逆矩阵（5 种判定方法）；§ 6.5 矩阵可对角化（7 种判定方法）；§ 8.7 正定型与正定阵（5 个判定准则）；§ 8.8 半正定型与半正定阵（4 个判定准则）等。

（3）若某一主题的内容过于庞大，则细分成若干个小节进行详细的阐述。例如，§ 3.7 矩阵的秩（分成 3 个部分）；§ 6.2 特征值与特征向量（分成 6 个部分）；§ 6.3 乘法交换性诱导的同时性质（分成 5 步）；§ 6.6 极小多项式与 Cayley-Hamilton 定理（分成 5 个部分）；§ 7.8 Jordan 标准型的应用（分成 4 个部分）；§ 8.8 半正定型与半正定阵（分成 4 个性质）；§ 9.5 保积同构、正交变换与正交矩阵（分成 4 个部分），§ 9.7 实对称阵的正交相似标准型（分成 4 个部分）等。

（4）对特别重要的主题，归纳总结与例题精讲往往不惜笔墨。例如矩阵的各类标准型，这是一个特别重要的主题，在后续专业课程中有广泛的应用。因此，白皮书花费了大量的篇幅来阐述它们：§ 3.8 相抵标准型及其应用，§ 7.3 有理标准型的几何与应用，§ 7.8 Jordan 标准型的应用，§ 8.4 合同标准型的应用，§ 9.7 实对称阵的正交相似标准型。

五、注重一题多解

白皮书对 160 余道典型例题给出了多种证法或解法，这些不同的方法往往穿插在各章节之中，并随着课程的深入不断地被挖掘出来。这不仅反映了高等代数各类知识点之间的有机联系，也将极大地激发读者的发散性思维，提高读者的解题能力。

六、融入了编者十多年的教学体会以及最新的教学成果

白皮书第四版增加了大量的例题，现有例题 830 余道，训练题 440 道。这些题目层次丰富、难度不一，大部分来自复旦大学数学科学学院高等代数期中、期末考试试题以及高等代数每周一题，还有一些题目选自兄弟院校的研究生入学考试试题以及全国大学生数学竞赛试题等。白皮书第四版融入了编者十多年来在复旦大学数学科学学院教授高等代数课程所积累的教学体会以及最新的教学成果。例如，§ 7.3 有理标准型的几何与应用，§ 7.7 过渡矩阵的求法中的方法 3 — 循环轨道法等，这些内容在同类型的高等代数学习指导书中比较少见，具有一定的创新性。

七、典型例题串联起知识点的完整总结以及方法技巧的完整应用

白皮书通过讲解典型例题，给出了许多重要知识点相关性质的完整总结，比如 § 2.6 伴随矩阵和 § 2.7 矩阵迹的性质等。另外，许多重要思想方法的应用虽然分散在各章节中，但只要读者通篇阅读之后仍然可将它们连线串珠、合为一体。比如阐述了 § 2.11 摄动法的原理之后，在后面的章节中陆续给出了 20 个应用。白皮书第四版还有一个特色是，通过一道典型例题串联起相关方法技巧的完整应用。

八、为读者提供了更好的阅读体验

白皮书第四版在为读者提供更好的阅读体验方面下了很大的功夫。

（1）白皮书第四版将第三版中按照方法和技巧分类的小节升格为节，这使得全书层次更加分明、主题分类更加清晰，利于读者查找相关的方法技巧等。

（2）白皮书第四版在后续章节给出一题多解时，也同时给出了题目本身，以方便读者阅读。

（3）白皮书第四版不仅提高了训练题的质量和难度，而且在很多例题的备注中，都留下了延拓性的问题供读者思考。这种适度的留白会给读者带来更多思考的空间。

（4）白皮书第四版删除了第三版中给某些章节和例题标注的星号（表示难度较大），将章节和例题的阅读选择留给读者自己决定。

（5）白皮书第四版改写了第三版中一些晦涩难懂的证明，统一了全书的行文风格。

（6）白皮书第四版的章节和例题顺序与习题课教学视频保持了一致，利于读者线上线下同步学习。

当然，白皮书第四版也有一些小遗憾，就是由于篇幅原因，没能收录复旦大学高等代数期中、期末考试中一些较难的压轴题，以及高等代数每周一题中一些较难的思考题。不过，我们计划将来出版《复旦大学高等代数习题集》，这本习题集将会是白皮书的进阶版，应该能弥补上述缺憾吧。

最后，衷心感谢广大读者多年来对高代白皮书的喜爱与支持！期待大家提出进一步的批评意见和建议。

更详细介绍页面：谢启鸿高等代数官方博客

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2024.1

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Q：复旦高代教材第四版有哪些更新？

A：1.教材第四版更正了教材第三版中的错误和不当之处。2.每节习题和每章复习题进行了大幅度的调整。3.每章增加了“历史与展望”栏目。4.教材第四版自带官方习题解答，在教材内封页“多媒体资料”处，扫描二维码即可下载。

Q：观看正课教学视频，用教材第三版好，还是用教材第四版好？

A：都可以。教材第四版的主体内容和教材第三版完全相同，对观看正课教学视频不会有任何影响。

Q：在教材第四版的官方习题解答中，有些习题的解答写的是“例x.xx”，这是什么？

A：这是引用高代白皮书第四版的例题号，这在每章习题解答的开始部分都写清楚了。请购买高代白皮书第四版作为参考。

Q：买了高代白皮书第三版，还要再买高代白皮书第四版吗？

A：高代白皮书第四版要比第三版高出一个档次，具体细节请参考高代白皮书第四版的介绍。如果经济条件允许的话，建议购买高代白皮书第四版。

Q：观看习题课教学视频，用高代白皮书第三版好，还是用高代白皮书第四版好？

A：都可以。习题课教学视频是以高代白皮书第三版为蓝本进行制作的，所以视频中采用的是第三版的章节号和例题号。然而习题课教学视频的内容其实是高代白皮书第四版的初稿，所以其整体构架、讲解顺序和新增例题等与高代白皮书第四版更为接近。除了例题序号不同之外，其他方面高代白皮书第四版与习题课教学视频更加匹配。

Q：习题课教学视频中每一节的练习题，在什么地方可以找到解答？

A：在高代习题集、高代白皮书或高代博客中基本上都能找到解答。B站上有UP主“CharlesMa0606”提供了所有练习题的解答，也可以作为参考。

Q：高代习题集与高代白皮书有什么不同？

A：高代习题集是历届高等代数每周一题、复旦大学高等代数期中考试精选大题和期末考试压轴大题的合集。高代白皮书第三版以及第四版收录了高代习题集中的部分题目，但仍有一些难度较大的题目尚未收录。因此，高代习题集可以看成是高代白皮书第四版的补充。

Q：高代习题集中的题目，在什么地方可以找到解答？

A：高代习题集里撰写了一部分题目的详细解答，剩余题目的解答引用了高代白皮书第四版的例题号或高代博客中的教学论文和教学博文。

Q：复旦高代三件套在哪里可以买到？

A：高代教材第四版和高代白皮书第四版在复旦大学出版社TM旗舰店、JD和DangDang等电商平台均有正版销售，但PDD上卖的大多都是盗版，请大家务必仔细甄别后购买！高代习题集提供免费电子版文件下载（请查看最上面提供的网址与习题集图片下载方式说明）。

Q：复旦高代三件套的下一版何时出版？

A：高代教材第五版和高代白皮书第五版预计在2030年前后修订出版。以高代习题集为蓝本的新书《高等代数习题课讲义》预计也将在2030年前后正式出版。敬请期待！