“实验课并不是要做实验哈！”

正如高等代数不是最“高等”的代数，抽象代数不是最“抽象”的代数一样，高等代数实验班也并不是要做什么“实验”。安金鹏老师幽默地解释道：

实验班并不是行政班，只是教学班。大一学生可以自由选择是否上实验班课程，每学期限选50人。自2015年设置实验班至今，除18-19学年外其余学年的高代实验班课程都由安金鹏老师任教。安老师介绍说，实验班所讲授的高等代数的主体内容是和普通班基本一致的，在深度、广度、抽象程度更高一点，另外在教学顺序上稍有差别。“高代的实验班课程是以线性空间、线形映射为主线，以此开头，一上来就是一般域上的线性空间，矩阵、行列式、多项式都看作研究线性空间和线性映射的工具。”同时安老师强调：“大班是不能这么讲的，还是要照顾更多的同学。”大班的高等代数往往从方程组、矩阵、行列式这些更接近中学数学风格的内容开始讲，之后再逐步抽象出线性空间、线性映射的概念。

两种讲法各有优劣，最终取决于受众的接受程度。安老师分析道：“从矩阵开始讲呢，好处是更易于大多数人接受，然而这样难免会抹掉一些更本质的东西。从线性空间开始讲呢，好处是更本质，然而会有一定的理解门槛。而在数院的学生中，的确有一部分同学的起点比较高，像有的同学可能中学时学过一点线性代数，稍有一点基础；有的同学可能抽象思维能力强，接受这种抽象语言比较快；总之各有各的强法。因此基于因材施教的原则，提供实验班这样一个平台，让这些同学能够尽快接触一些后续内容。”可见，这样的差异化课程安排，是基于教学内容及学生层次进行的精准而科学的设计。

安老师回忆自己学生时代时，起初就一直没能理解“矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积”这件事，“证明能看明白，但证明中究竟发生了什么事，始终没想明白，觉得怎么竟然有这种巧合。”直到很久之后才明白，人们希望把矩阵乘法定义为线性映射的复合，把行列式定义为线性映射把体积扩大的倍数，这样这个命题就非常自然，几乎不需要证明。而今，在实验班的高代课上，安老师会用外积的方式引进行列式。“就是觉得‘如果当时可以学到就好了！’可以说，我现在所讲的很多内容也是希望自己上学时能学到的内容。”的确啊！很多内容仅靠自学是难以体会的：比如宏观上，一些理论的核心思想、想法、观点，不同分支之间的联系；再比如微观上，一些简单的观察，几处必要的注记，等等……这些都是需要老师及时点拨的。安老师期望，每节课让学生能听到些自学时学不到的东西。

之前安金鹏老师还教过泛函分析、线性代数群、各种名字的李群课、其他院系的线性代数等等。谈到备课，安老师的经验是：“我一般每讲一门新的、完全没讲过的课，那这个学期就不安排别的事了，就只备课：每周为了讲这三四个小时，可能要准备四五十个小时。当然，如果是讲过很多遍的课就能相对轻松一些啦。”

经过多年的打磨，高代实验班所使用的讲义已经基本成型，尤其是下半学期的讲义，文字简练清晰，并且观点深刻。不过也不会完全脱离教材，目前是把讲义和教材结合起来使用。选择教材时安老师着实费了一番周折：“当时比较了国内外百余本教材。问题在于很多国外的教材是一个学期的量，最后选定了Hoffman这本相对适合的教材，是两个学期的量，并且设计思路基本符合（比如：较早地引入了线性空间，以外积的方式来讲行列式），但缺点是有点老，是60年代MIT的教材，可能今天来看不是最精练、最成熟的。”安老师期望最终自己可以写一本教材，更好地满足教学需求。

总的来说，高等代数是十分重要的基础课。“它是以后很多课程乃至做研究时很重要的工具。即使以后对象非线性，那研究它的第一步也常常是线性化”，安老师这样说。因此，高代实验班的教学目的并不是追求“难”、“快”，而是希望为这些起点比较高，能力比较强的同学，为他们将来从事数学研究，打下一个坚实的基础。古人云：“行远自迩，登高自卑”，也许台下这些莘莘学子的数学探索之旅，就在这黑板上的一笔一划间启程了！

一堂习题课的诞生

习题课是对正课的重要补充，是课程教学体系的重要组成部分。安老师觉得习题课的主要目的是“举例子”：“因为正课是按照逻辑线索讲下来的，可能来不及举太多的例子，没时间来演示这套理论在实际问题上如何操作。像这些内容就要放到习题课上来展示。”

为了保障实验班课程的教学质量，习题课会由经验较为丰富的的博士生来讲授。目前担任高代实验班习题课教学的是18级博士生白瑞祺和姜杰东。这已经是白瑞祺连续第四个学期担任高代实验班的助教了；之前担任过信科高等代数和数院数论引论助教的姜杰东今年是首次担任实验班课程助教。两人均是数论方向，工位也在一起，平时交流讨论十分方便。

在白瑞祺看来，学院设立习题课的初衷在于“帮助大一学生完成高中到大学的过渡”。他解释道，无论是高考数学还是竞赛数学，其教学目的都是面向试题、提高成绩，其教学形式都是以机械化、肌肉记忆式的习题训练为主，而大学数学课程是为了培养数学研究者而设置的，很多大一学生并不能很快适应这种学习目的上的转变。此外，高中数学和大学数学在内容、风格、思维方式、学习范式等方面也有很大差别，因此需要在学生初入大学时加以引导，帮助他们完成从高中到大学的过渡。

这样的教学定位自然对习题课的设计准备提出了更高的要求。双周周二的晚上，两位助教会一起聚在全斋的讨论室，筹备当周的习题课。姜杰东介绍道：“我们一般会事先过一遍教材、讲义、作业，并一起快速浏览一下老师这两周的课程录像，再结合老师对习题课的‘最高指示’，最终确定习题课的主题。”

所谓“主题”，就是一些主题词，譬如“Cayley-Hamilton定理”、“同时对角化”等等。两位助教觉得，习题课虽名为“习题”课，却不应以一道道习题为中心，而是以一个个主题为中心展开，将教材、习题、补充材料等众多素材成体系地组织在这些主题之下。两位助教各带一个班，内容上会有难易、详略、取舍的差别，但会保持主题体系的一致。每次习题课上课前，还会将今天的主题框架提前写在黑板的左侧，以便同学记录整理。

针对每个主题，两位助教要完成三个步骤的教学设计：

完成这三步后，内容已经多得一堂课塞不下了。下半学期习题课两周一次，而内容却数倍于上学期，只好挑选其中最必要、最值得讲的内容，并做好时间预算。两人对着设计好的计划表上比划着：“你看，这个主题大概要15-20分钟，讲到这儿是第一节课，把这个知识框架总结安排到这儿，正好可以在课间休息时写板书……”“可以可以，计划通啊！”

讨论结束已是深夜，两位助教回去后各自准备讲义。白瑞祺会负责写一版最详细的讲义，将之前搜集到的内容尽可能完整地记录下来，争取覆盖两个班的内容；课上只挑其中一部分来讲，课后再把完整内容发到知乎上，供学生课后学习。截至目前，白瑞祺已在知乎上发布与习题课有关的讲义、拓展和心得近10篇，其中他于今年1月份发布的《高等代数，前进四！——高代实验班习题课设计（2020秋）》一文在知乎、朋友圈被火爆转发。